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Colles de mathématiques

Inverse d'une matrice 2x2 par le pivot de Gauss-Jordan

En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, calculer l'inverse de la matrice $A=\lb\begin{array}{rr}2&3\\1&4\enar\rb$ .

On écrit la matrice augmentée avec l'identité

$\lb\begin{array}{rr|rr}2&3 &1&0\\1&4 &0&1\enar\rb$

On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par $L_1\leftarrow\dfrac12 L_1$ ,

$\lb\begin{array}{rr|rr}1&\dfrac32 &\dfrac12&0\\1&4 &0&1\enar\rb$

puis $L_2\leftarrow L_2-L_1$

$\lb\begin{array}{rr|rr}1&\dfrac32 &\dfrac12&0\\[.8em]0&\dfrac52 &-\dfrac12&1\enar\rb$

puis on ramène à 1 le pivot de la 2ème ligne par $L_2\leftarrow \dfrac25 L_2$

$\lb\begin{array}{rr|rr}1&\dfrac32 &\dfrac12&0\\[.8em]0&1 &-\dfrac15&\dfrac25\enar\rb$

puis enfin on calcule $L_1\leftarrow L_1-\dfrac32L_2$

$\lb\begin{array}{rr|rr}1&0 &\dfrac45&\dfrac35\\[.8em]0&1 &-\dfrac15&\dfrac25\enar\rb$

d'où on trouve

$A^{-1}=\lb\begin{array}{rr}\dfrac45&\dfrac35\\[.8em]-\dfrac15&\dfrac25\enar\right] =\dfrac15\lb\begin{array}{rr}4&3\\[.8em]-1&2\enar\rb$