Colles de mathématiques
Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.
Retour
Sujet
Soit f : R3R3, définie par
f (x, y, z)
= (
x − 2y + z, y − z, 2x − y − z)
- Monter que f est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de R3.
- f est-elle bijective ?
- Donner un vecteur u∈R3 non nul du noyau de f.
- Montrer que (u, e1, f (e1)) est une base de R3.
Donner alors la matrice de f dans cette base.
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Déterminants
Correction
- f est clairement linéaire (à savoir démonter …) et sa matrice dans la base canonique de R3 est:
- On calcule le déterminant de f.
La somme des 3 colonnes donne le vecteur nul;
ce déterminant est donc nul, et f n'est pas bijective.
On peut aussi, alternativement, utiliser la question suivante, à faire donc en même temps: le noyau de f n'est pas réduit au vecteur nul, donc f n'est pas injective, donc pas bijective non plus. - Soit u(x, y, z)∈R3,
alors
Ainsi, u(1, 1, 1)∈ker(f ). - On a , et donc le déterminant de la famille
s'écrit dans la base canonique,
Cette famille est donc libre, donc aussi une base de .
On a directement, , et pour les images des deux premiers vecteurs de cette base, donc dans cette bse la matrice de s'écrit: .
Il reste à déterminer .
On cherche donc , et tels que
On trouve facilement, d'abord (2ème ligne) , puis (3ème ligne) , et enfin . Ainsi, dans la base , la matrice de est .