Colles de mathématiques
Nombre de racines de la dérivée d'un polynôme
Sujet
Soit f la fonction définie sur R
par f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4).
Démontrer que l'équation f ' (x) = 0 admet exactement trois solutions réelles distinctes.
Démontrer que l'équation f ' (x) = 0 admet exactement trois solutions réelles distinctes.
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis - Polynômes
Correction
f admet 4 racines évidentes:
f (−1) = f (−2) = f (−3) = f (−4) = 0.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur [−2, −1], [−3, −2] et [−4, −3], on obtient trois racines de f ', distinctes car elles appartiennent à des intervalles disjoints ]−2, −1[, ]−3, −2[ et ]−4, −3[.
Enfin, comme f est un polynôme de degré 4, f ' est un polynôme de degré 3. Ainsi f ' admet au plus trois racines.
D'après ce qui précède, f ' admet donc exactement trois racines réelles.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, appliqué trois fois respectivement sur [−2, −1], [−3, −2] et [−4, −3], on obtient trois racines de f ', distinctes car elles appartiennent à des intervalles disjoints ]−2, −1[, ]−3, −2[ et ]−4, −3[.
Enfin, comme f est un polynôme de degré 4, f ' est un polynôme de degré 3. Ainsi f ' admet au plus trois racines.
D'après ce qui précède, f ' admet donc exactement trois racines réelles.