Colles de mathématiques
Nombre de racines d'un polynôme (parité du degré)
Sujet
Soit, pour un entier n,
le polynôme
P(x) = 2xn+2 − (n+2)x2 + 14 .
Montrer que si n est pair alors P admet au plus quatre racines réelles distinctes, tandis que si n est impaire P admet au plus trois racines réelles distinctes.
Montrer que si n est pair alors P admet au plus quatre racines réelles distinctes, tandis que si n est impaire P admet au plus trois racines réelles distinctes.
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis - Polynômes
Correction
On a
P'(x) = 2(n+2)xn+1 − 2(n+2)x
soit
P'(x) = 2(n+2)x(xn − 1)
- Si n est pair, l'équation xn = 1 admet deux racines réelles,
−1 et 1, et donc
P'
admet exactement trois racines réelles:
0, −1 et 1.
Si P admettait plus de quatre récines réelles distinctes, donc au moins cinq: P(x1) = P(x2) = P(x3)= P(x4)= P(x5) = 0, alors d'après le théorème de Rolle appliqué quatre fois sur chaque intervalle [xi; xi+1], P' aurait quatre racines distinctes.
Or nous venons de voir que P' n'avait que trois racines; c'est donc impossible, et P a au plus quatre racines réelles distinctes. - On procède de même si n est impair.
Cette fois par contre l'équation xn = 1 n'admet qu'une seule solution, x = 1, et P' n'a donc que deux racines réelles 0 et −1, et P pas plus de trois racines réelles distinctes.