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Colles de mathématiques

Optimisation des dimensions d'une boite


Sujet


On désire fabriquer une boite ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette boite doit être égal à 0,5 m3 et pour optimiser la quantité de matière utilisée, on désire que la somme des aires des faces soit aussi petite que possible.

Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite?

Corrigé de l'exercice de maths: Fonctions de plusieurs variables

Correction


On note $x$, $y$ les dimensions de la base et $z$ la hauteur de la boite. Son volume est donc $xyz=\dfrac12$, et la somme des aires des faces, sans couvercle, est
\[f(x,y,z)=xy+2xz+2yz\]

ou encore, en remplaçant $z=\dfrac1{2xy}$, on cherche le minimum de la fonction de deux variables
\[g(x,y)=xy+\frac 1x+\frac 1y\]

pour $(x,y)\in\lp\R_+^*\rp^2$.
Les dérivées partielles de $g$ sont
\[\dfrac{\partial g}{\partial x}=y-\frac 1{x^2} \text{ et } \dfrac{\partial g}{\partial y}=x-\frac 1{y^2}\]

Les points critiques sont solutions de
\[\la\begin{array}{ll}y=\dfrac1{x^2}\\[.8em] x=\dfrac1{y^2} \enar\right. \iff \la\begin{array}{ll}y=y^4\\[.5em] x=x^4 \enar\right.\]

et le seul point critique de $g$ est $(1,1)$.
On calcule ensuite les dérivées secondes:
\[\begin{array}{lcl}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)&=&\dfrac2{x^3} \\[1em] \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)&=&\dfrac2{y^3} \\[1em] \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)&=&1 \enar\]

et alors $st-r^2>0$ et $g$ admet donc un minimum en $(1,1)$.
Les trois dimensions recherchées sont enfin $x=1$, $y=1$ et $z=1/2$.