Colles de mathématiques
Polynôme définissant par une relation avec sa dérivée
Sujet
Soit
un polynôme non nul qui vérifie
.
![$P\in\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP5/1.png)

- Déterminer le degré de
. En déduire que
, avec
.
- Montrer, par récurrence sur
, que, pour tout entier
,
- Montrer que
pour
.
- En déduire
en fonction de
et
.
Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes
Correction
- Soit
, c'est-à-dire que
avec
.
On a alors
ce qui montre que, nécessairement,.
On a alors, puis en dérivant
fois
.
- Pour
, la relation s'écrit
qui la relation définissant
.
Supposant maintenant que pour un entieron ait
alors,
qui montre que la relation est encore vraie au rang suivant, et donc que, d'après le principe de récurrence, cette relation est vraie pour tout entier.
- La relation précédente, pour
donne
et donc que, pour tout, on a
.
- Le résultat précédent montre que 2 est une racine de multiplicité
et donc que
.