Colles de mathématiques
Probabilité d'au moins un événement
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2017
Sujet
Soit et , … , événements indépendants d'un espace probabilisé tels que:
.
Soit l'événément "Au moins un des est réalisé".
Soit l'événément "Au moins un des est réalisé".
- Calculer .
- Montrer que, , .
En déduire que: . - Calculer . Interpréter ce résultat.
Corrigé de l'exercice de maths: Probabilités conditionnelles - indépendance - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Corrigé - Oral ENSAE - 2017
- On a et donc,
en utilisant le contraire, comme les événements sont indépendants,
- On définit sur la fonction , qui est dérivable avec .
On a alors , et donc
ce qui montre en particulier que, pour tout réel , on a qui est l'inégalité recherchée.
On applique alors cette inégalité avec , soit
et donc, par produit de termes positifs,
et alors,
- Pour une probabilité, on a nécessairement et donc
Or, la série harmonique
est divergente (ou aussi car c'est une série de Riemann divergente), c'est-à-dire ici, pour une série à termes positifs,
et donc
et enfin, par le théorème des gendarmes, on obtient
Ce résultat signifie quand prenant un grand nombre d'événements aléatoires indépendants, un au moins finit par se réaliser.