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Colles de mathématiques

Projecteur composé de projecteurs


Sujet


Soit p et q deux endomorphismes d'un espace vectoriel E tels que p et p o q sont des projecteurs.
Montrer que p o q o p est aussi un projecteur.

Corrigé de l'exercice de maths: Projecteurs - Applications linéaires - Espaces vectoriels

Correction


Comme p et p o q sont des projecteurs, on a p2 = p o p = p et (p o q)2 = p o q o p o p = p o q.
et alors
\[\begin{array}{ll} \left( p\circ q\circ p\rp^2 &=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em] &=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em] &=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em] &=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em] &=p\circ q\circ p \enar\]

et donc p o q o p est bien un projecteur.