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Colles de mathématiques

Projecteurs …


Sujet


Soit p et q deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant Im(p)⊂Ker(q).
  1. Que peut-on dire de q ο p ?
  2. On note r = p + q − p ο q. Montrer que r est un projecteur.

Corrigé de l'exercice de maths: Projecteurs - Applications linéaires - Espaces vectoriels

Correction


  1. Pour un quelconque x, on a y = p(x)∈Im(p) et donc, comme Im(p)⊂Ker(q), on a y∈Ker(q) car
    q(y) = q(p(x)) = 0

    Ainsi, q ο p est l'application nulle.
  2. On a, en développant et en utilisant p2 = p, q2 = q et q ο p = 0,
    \[\begin{array}{lcl} r^2 &=&\left( p+q-p\circ q\rp\circ\left( p+q-p\circ q\rp \\[.6em] &=&\phantom{+} p^2+p\circ q-p^2\circ q \\[.3em] && +q\circ p+q^2-q\circ p\circ q\\[.3em] && -p\circ q\circ p-p\circ q^2+ p\circ q\circ p\circ q\\[.7em] &=& p+p\circ q-p\circ q \\[.3em] && +0+q-0\\[.3em] && -0-p\circ q+ 0\\[.7em] &=&p+q-q\circ p = r \enar\]

    ce qui montre que r est un projecteur.