Colles de mathématiques
Propriété de l'intégrale d'une fonction avec une symétrie
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Sujet
Soit f une fonction continue sur [a, b] à valeurs réelles telle que, pour tout x∈[a, b],
f (a + b − x) = f (x)
.
Montrer que
Montrer que
∫
a
b
x f (x) dx
=
a + b2
∫
a
b
f (x) dx
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
Soit
m = a + b2, alors la propriété donnée sur f exprime que sa courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation .
En effet, si on pose , alors
En ayant remarqué ou non cette symétrie graphique, la propriété donnée sur f nous incite fortement à utiliser le changement de variable dans l'intégrale.
On alors et, en n'oubliant pas les bornes,
soit, avec et en séparant l'intégrale en deux:
On trouve donc d'où le résultat.
En ayant remarqué ou non cette symétrie graphique, la propriété donnée sur f nous incite fortement à utiliser le changement de variable dans l'intégrale.
On alors et, en n'oubliant pas les bornes,
soit, avec et en séparant l'intégrale en deux:
On trouve donc d'où le résultat.