Colles de mathématiques
Propriété de l'intégrale d'une fonction avec une symétrie
Sujet
Soit f une fonction continue sur [a, b] à valeurs réelles telle que, pour tout x∈[a, b],
f (a + b − x) = f (x)
.
Montrer que
Montrer que
∫
a
b
x f (x) dx
=
a + b2
∫
a
b
f (x) dx
Corrigé de l'exercice de maths: Intégrales sur un segment
Correction
Soit
m = a + b2, alors la propriété donnée sur f exprime que sa courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation
.
En effet, si on pose
, alors
![\[\begin{array}{ll}f(m-x)&=f\lp\dfrac{a+b}{2}-x\rp\\
&=f\Bigl( a+b-\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f(m+x)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/5.png)
En ayant remarqué ou non cette symétrie graphique, la propriété donnée sur f nous incite fortement à utiliser le changement de variable
dans l'intégrale.
On alors
et, en n'oubliant pas les bornes,
![\[I=\int_a^b xf(x)\,dx=-\int_b^a (a+b-u)f\left( a+b-u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/9.png)
soit, avec
et en séparant l'intégrale en deux:
![\[\begin{array}{ll}I&\dsp=(a+b)\int_a^b f(u)du-\int_a^b uf(u)du\\[1em]
&\dsp=(a+b)\int_a^bf(u)du-I\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/11.png)
On trouve donc
d'où le résultat.


![\[\begin{array}{ll}f(m-x)&=f\lp\dfrac{a+b}{2}-x\rp\\
&=f\Bigl( a+b-\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f(m+x)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/5.png)
En ayant remarqué ou non cette symétrie graphique, la propriété donnée sur f nous incite fortement à utiliser le changement de variable

On alors

![\[I=\int_a^b xf(x)\,dx=-\int_b^a (a+b-u)f\left( a+b-u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/9.png)
soit, avec

![\[\begin{array}{ll}I&\dsp=(a+b)\int_a^b f(u)du-\int_a^b uf(u)du\\[1em]
&\dsp=(a+b)\int_a^bf(u)du-I\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/11.png)
On trouve donc
