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Colles de mathématiques

Raccordement dérivable


Sujet


Soit f : [0;1] R dérivable vérifiant f (0) = f (1) avec f ' continue en 0 et en 1. On définit g sur [0;1] par
g(x) = f (2x) si 0≤x≤ 12 f (2x−1) si 12 < x ≤ 1
g est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?

Corrigé de l'exercice de math

Correction


La fonction $g$ est continue et dérivable sur $]0,1/2[$ et sur $]1/2,1[$, comme composée de fonctions qui le sont: $f$, $x\mapsto2x$ et $x\mapsto2x-1$. Le seul problème est éventuellement en 1/2.
On a
\[\lim_{x\to \frac{1}2^-}g(x)=f(1)\]

et
\[\lim_{x\to \frac12^+}g(x)=f(0)\]

et, comme $f(0)=f(1)$, la fonction $g$ est donc continue en 1/2.

Pour $x<1/2$, on a
\[g'(x)=2f'(2x)\begin{minipage}[t]{4em}$\ \longrightarrow$\\\scriptsize$x\to \frac 12^-$\end{minipage} 2f'(1)\]

et donc, par le théorème de prolongement d'une dérivée, $g$ admet une dérivée à gauche en 1/2 égale à $2f'(1)$.
De même, pour $x>1/2$, on a
\[g'(x)=2f'(2x-1)\begin{minipage}[t]{4em}$\ \longrightarrow$\\\scriptsize$x\to \frac 12^+$\end{minipage} 2f'(0)\]

et donc, par le théorème de prolongement d'une dérivée, $g$ admet une dérivée à droite en 1/2 égale à $2f'(0)$.
Maintenant, la fonction $g$ est dérivable en 1/2 si et seulement si les dérivées à droite et à gauche sont égales, c'est-à-dire si et seulement $f'(1)=f'(0)$.