Colles de mathématiques
Série entière presque géométrique
Sujet
Donner le rayon de convergence et donner une expression à l'aide de fonctions usuelles de la série
∑
n≥0
x3n3n + 1.
Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières - Intégrales sur un segment
Correction
Si
est le terme général de la série,
on a
lorsque
.
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
.
Soit donc, pour
,
.
On pose
.
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
.
Il reste maintenant à intégrer.
On décompose en éléments simples
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{1-x^3}
&=\dfrac1{(1-x)(1+x+x^2)}\\[.7em]
&=\dfrac{\alpha}{1-x}+\dfrac{\beta x+\gamma}{1+x+x^2}\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/9.png)
En multipliant par
puis en prenant
on trouve
.
En multipliant par
et en faisant tendre
, on obtient
,
soit
.
Enfin, en prenant
, on obtient
soit
.
On a donc
![\[g'(x)=\dfrac13\lb\dfrac1{1-x}+\dfrac{x+2}{1+x+x^2}\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/20.png)
Le premier terme s'intègre directement en
.
On décompose encore le second terme:
![\[\dfrac{x+2}{1+x+x^2}
=\dfrac12\tm\dfrac{2x+1}{1+x+x^2}+\dfrac32\tm\dfrac1{1+x+x^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/22.png)
Là aussi le premier terme s'intègre directement en
, pour le second on écrit (classiquement)
![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dsp\int\dfrac{dx}{1+x+x^2}\\[1em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\left( x+\dfrac12\rp^2+\dfrac34}\\[2.2em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\dfrac34\left( \dfrac43\left( x+\dfrac12\rp^2+1\rp}\\[2.6em]
&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{dx}{\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp^2+1}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/24.png)
Avec le changement de variable
,
donc
, on a
![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1} \\[1.2em]
&=\dfrac{2\sqrt3}{3}\arctan(u)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/27.png)
On a donc finalement obtenu
![\[g(x)=\dfrac13\lb-\ln(1-x)+\dfrac12\ln\lp1+x+x^2\right)
+\sqrt3\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp\rb+C\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/28.png)
où
est une constante d'intégration: comme
, on a
,
or
et donc
.
On a donc obtenu finalement,
![$u_n=\dfrac{x^{3n}}{3n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/1.png)
![$\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|x|^3\dfrac{3n+1}{3n+4}\to|x|^3$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/2.png)
![$n\to+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/3.png)
Le rayon de convergence de cette série entière est donc 1, et on suppose donc dans les tous les calculs à venir que
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/4.png)
Soit donc, pour
![$|x|<1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/5.png)
![$f(x)\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{3n}}{3n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/6.png)
On pose
![$g(x)=xf(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/7.png)
On a alors, la série entière étant dérivable, et terme à terme, dans son disque de convergence,
![$g'(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}x^{3n}
=\dsp\sum_{n\geqslant0}\left( x^3\rp^n
=\dfrac1{1-x^3}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/8.png)
Il reste maintenant à intégrer.
On décompose en éléments simples
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{1-x^3}
&=\dfrac1{(1-x)(1+x+x^2)}\\[.7em]
&=\dfrac{\alpha}{1-x}+\dfrac{\beta x+\gamma}{1+x+x^2}\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/9.png)
En multipliant par
![$1-x$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/10.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/11.png)
![$\alpha=\dfrac13$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/12.png)
En multipliant par
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/13.png)
![$x\to+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/14.png)
![$0=-\dfrac13+\alpha$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/15.png)
![$\alpha=\dfrac13$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/16.png)
Enfin, en prenant
![$x=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/17.png)
![$1=\dfrac13+\beta$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/18.png)
![$\beta=\dfrac23$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/19.png)
On a donc
![\[g'(x)=\dfrac13\lb\dfrac1{1-x}+\dfrac{x+2}{1+x+x^2}\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/20.png)
Le premier terme s'intègre directement en
![$-\ln(1-x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/21.png)
On décompose encore le second terme:
![\[\dfrac{x+2}{1+x+x^2}
=\dfrac12\tm\dfrac{2x+1}{1+x+x^2}+\dfrac32\tm\dfrac1{1+x+x^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/22.png)
Là aussi le premier terme s'intègre directement en
![$\dfrac12\ln\lp1+x+x^2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/23.png)
![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dsp\int\dfrac{dx}{1+x+x^2}\\[1em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\left( x+\dfrac12\rp^2+\dfrac34}\\[2.2em]
&=\dsp\int\dfrac{dx}{\dfrac34\left( \dfrac43\left( x+\dfrac12\rp^2+1\rp}\\[2.6em]
&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{dx}{\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp^2+1}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/24.png)
Avec le changement de variable
![$u=\dfrac{2x+1}{\sqrt3}$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/25.png)
![$du=\dfrac2{\sqrt3}dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/26.png)
![\[\begin{array}{ll}h(x)&=\dfrac43\dsp\int\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1} \\[1.2em]
&=\dfrac{2\sqrt3}{3}\arctan(u)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/27.png)
On a donc finalement obtenu
![\[g(x)=\dfrac13\lb-\ln(1-x)+\dfrac12\ln\lp1+x+x^2\right)
+\sqrt3\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp\rb+C\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/28.png)
où
![$C$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/29.png)
![$g(x)=xf(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/30.png)
![$g(0)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/31.png)
![$g(0)=\dfrac13\left[ 0+0+\sqrt3\arctan\lp\dfrac1{\sqrt3}\rp\rb$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/32.png)
![$C=-\dfrac{\sqrt3}{3}\arctan\lp\dfrac1{\sqrt3}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/33.png)
On a donc obtenu finalement,
![\[\begin{array}{lcl}f(x)&=&\dfrac{g(x)}{x} \\[1.2em]
&=&-\dfrac1{3x}\ln(1-x)+\dfrac1{6x}\ln\lp1+x+x^2\rp\\[.8em]
&&+\dfrac{\sqrt3}{3}\lp\arctan\lp\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\rp-\arctan\lp\dfrac1{\sqrt3}\rp\rp
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exSEPG3_c/34.png)