Colles de mathématiques
Somme de 2 lois de Poisson
Sujet
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant
des lois de Poisson de paramètre respectif λ et μ.
Démontrer que Z = X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + μ.
Démontrer que Z = X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + μ.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires discrètes
Correction
On cherche à déterminer la loi de probabilité de Z = X + Y ,
c'est-à-dire les probabilités
P(Z = k) pour tout entier k.
L'événement Z = k est la réunion disjointe des événements X = l et Y = k−l pour 0≤l≤k.
On a donc, par indépendance des variables aléatoires,
![\[\begin{array}{lcl}
P(Z=k)&=&\dsp\sum_{l=0}^k P\Bigl(\left( X=l\rp\cap\left( Y=k-l\rp\Bigr)\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{l=0}^k P(X=l)\,P(Y=k-l)\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}\\[1.2em]
&=&e^{-(\lambda+\mu)}\dsp\sum_{l=0}^k \dfrac1{l!(k-l)!}\lambda^l\mu^{k-l}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/8.png)
On voit alors apparaître la formule du binôme de Newton de
![\[(\lambda+\mu)^k=\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/9.png)
avec les coefficients binomiaux
![\[\binom kl=\dfrac{k!}{l!(k-l)!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/10.png)
et on a donc alors
![\[\begin{array}{lcl}P(Z=k)=
&=&\dsp\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\\[1.2em]
&=&\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/11.png)
ce qui montre que la variable aléatoire Z = X + Y , suit bien une loi de Poisson de paramètre λ + μ.
L'événement Z = k est la réunion disjointe des événements X = l et Y = k−l pour 0≤l≤k.
On a donc, par indépendance des variables aléatoires,
![\[\begin{array}{lcl}
P(Z=k)&=&\dsp\sum_{l=0}^k P\Bigl(\left( X=l\rp\cap\left( Y=k-l\rp\Bigr)\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{l=0}^k P(X=l)\,P(Y=k-l)\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}\\[1.2em]
&=&e^{-(\lambda+\mu)}\dsp\sum_{l=0}^k \dfrac1{l!(k-l)!}\lambda^l\mu^{k-l}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/8.png)
On voit alors apparaître la formule du binôme de Newton de
![\[(\lambda+\mu)^k=\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/9.png)
avec les coefficients binomiaux
![\[\binom kl=\dfrac{k!}{l!(k-l)!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/10.png)
et on a donc alors
![\[\begin{array}{lcl}P(Z=k)=
&=&\dsp\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\\[1.2em]
&=&\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAD/SommeLoisPoisson_c/11.png)
ce qui montre que la variable aléatoire Z = X + Y , suit bien une loi de Poisson de paramètre λ + μ.