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Colles de mathématiques

Somme avec racine n-ième de l'unité

Soit $\omega$ une racine n-ième de l'unité différente de 1. On pose $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$

En calculant $(1-\omega)S$ , déterminer la valeur de .
À l'aide de la fonction définie par $\displaystyle F(x)=\sum_{k=0}^{n-1}x^{k+1}$ , retrouver la valeur de .

Soit $\omega$ une racine n-ième de l'unité différente de 1. On pose $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$

On a $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0$ , donc $\displaystyle S=\sum_{k=0}^{n-1}k\omega^k$ .
Par ailleurs, avec un changement d'indice, $\dsp\omega S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^{k+1}=\sum_{k=1}^nk\omega^k$ ,
d'où $(1-\omega)S=-n\omega^n=-n$ , et donc $S=-\dfrac{n}{1-\omega}$ .
On a $\displaystyle F'(x)=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)x^k$ et on voit donc que $F'(\omega)=S$ .
Or, pour $x\not=1$ , $F(x)=x\dfrac{1-x^n}{1-x}$ , d'où $F'(x)=\dfrac{1-x^n}{1-x}+x\dfrac{-nx^{n-1}(1-x)+(1-x^n)}{(1-x)^2}$ .
Comme $\omega^n=1$ , on obtient alors $S=F'(\omega)=0+\omega\dfrac{-n\omega^{n-1}(1-\omega)+0}{(1-\omega)^2} =-\dfrac{n}{1-\omega}$ .