Colles de mathématiques
Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application
Exercice de maths: Matrices - Diagonalisation
Sujet
On considère l'application:
Φ:
ℳn(R)
ℳn(R)
A
↦
A − AT
On note de plus 𝒮n(R) et 𝒜n(R) les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
On note de plus 𝒮n(R) et 𝒜n(R) les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
- Montrer que Φ est un endomorphisme de ℳn(R).
- Déterminer Ker(Φ) et montrer que Im(Φ) = 𝒜n(R).
- Montrer que ℳn(R) = 𝒜n(R)⊕𝒮n(R).
- Montrer que les seules valeurs propres de Φ sont 0 et 2.
- Montrer que Φ est diagonalisable.