Colles de mathématiques
Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application
Sujet
On considère l'application:
Φ:
ℳn(R)
ℳn(R)
A
↦
A − AT
On note de plus 𝒮n(R) et 𝒜n(R) les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
On note de plus 𝒮n(R) et 𝒜n(R) les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques.
- Montrer que Φ est un endomorphisme de ℳn(R).
- Déterminer Ker(Φ) et montrer que Im(Φ) = 𝒜n(R).
- Montrer que ℳn(R) = 𝒜n(R)⊕𝒮n(R).
- Montrer que les seules valeurs propres de Φ sont 0 et 2.
- Montrer que Φ est diagonalisable.
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices - Diagonalisation
Correction
- Par linéarité de la soustraction matricielle et de la transposition,
est bien linéaire de
dans
, et c'est donc bien un endomorphisme de
.
-
.
Ainsi,.
Soit, alors il existe
tel que
. On a alors
et donc
, d'où
Réciproquement, si
, alors
et alors
, ce qui montre que
et donc que
.
On vient ainsi de montrer que.
- La somme est directe, car si
, alors
et
d'où
.
De plus, pour toute matrice, on peut écrire
avec
et
, ce qui montre que
.
Comme la somme est directe on a donc.
- Soit
une valeur propre de
et
une matrice propre, c'est-à-dire
. En particulier, si
,
et donc, d'après ce qui précède,
, d'où
et nécessairement, si
, alors
.
Par ailleurs,est aussi valeur propre car on a vu que
.
- On a
et donc
. De même,
. Au total, on a deux valeurs propres, pour lesquelles la somme des dimensions des espaces propres est
, et donc
est diagonalisable.