Colles de mathématiques
Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité
Exercice de maths: Diagonalisation
Sujet
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = −id.
- Donner un exemple de tel endomorphisme sur R2.
- Montrer que f n'a pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension de E est paire.
- Montrer que, pour tout x∈E, on a Vect(x, f (x)) est stable par f.
- En déduire que si dim(E) = 2n, il existe des vecteurs e1, … , en, tels que (e1, f(e1), … , f(en), en), forme une base de E. Quelle est la matrice de f dans cette base ?