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Colles de mathématiques

Somme des entiers impairs


Sujet


Montrer par récurrence que $\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$.

Corrigé de l'exercice de maths: Sommes - Récurrence

Correction


Par récurrence sur $n\in\N$:
Pour $n=0$, $\dsp\sum_{p=0}^0 2p+1=1$ et $(0+1)^2=1$, ce qui montre que la formule est vraie initialement au rang $n=0$.


Supposons maintenant que la formule est vraie à un rang quelconque $n\in\N$, c'est-à-dire que $\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$.

On a alors, au rang $n+1$ suivant:
\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{p=0}^{n+1} 2p+1 &=\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1+(2(n+1)+1)\\[.6em] &=(n+1)^2+(2n+3) \\[.6em] &=n^2+4n+4 \\[.5em] &=(n+2)^2 \\[.5em] =\bigl((n+1)+1\bigr)^2 \enar\]

et la formule est donc encore vraie.

On a donc montré, grâce au principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1=(n+1)^2$.