🔍

Colles de mathématiques

Suite récurrente avec une racine carrée



Exercice de maths: Suites

Sujet


Soit $a>2$ et $\left( u_n\rp$ la suite définie par récurrence par $u_0=a$ et $u_{n+1}=2\sqrt{u_n-1}$ pour $n\geqslant0$.
  1. Soit $g(x)=2\sqrt{x-1}-x$ pour $x\geqslant1$. Étudier le signe de $g(x)$.
  2. Étudier la convergence de la suite $\left( u_n\rp$.
  3. On pose $v_n=u_n-2$. Montrer que
    \[\dfrac1{v_{n+1}}-\dfrac1{v_n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\dfrac14\]

Correction