Colles de mathématiques
Suite, équivalents et série
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Exercice de maths: Suites - Séries - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Sujet
On considère la fonction
donnée par:
![\[f(x)=\dfrac{1-cos(x)}{x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/2.png)
et la suite
définie par
et
pour tout
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/1.png)
![\[f(x)=\dfrac{1-cos(x)}{x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/2.png)
et la suite
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/3.png)
![$u_0\in\left]0,\dfrac\pi2\right]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/4.png)
![$u_{n+1}=f\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/5.png)
![$n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/suiteeqserie/6.png)
- Montrer que
se prolonge en une fonction continue sur
.
- Montrer que pour tout
,
.
- Montrer que
est décroissante, convergente et calculer sa limite.
- Montrer que
.
La série de terme généralconverge-t-elle ?
- Pour quelles valeurs de a la série de terme général
converge-t-elle ?