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Colles de mathématiques

Suite récurrente et fonction logarithme


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Exercice de maths: Suites - Récurrence - Limite

Sujet


Soit $u$ la suite définie par son premier terme $u_0\geq 1$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est la fonction définie par l'expression $f(x)=1+\ln(x)$.
  1. Démontrer que la suite est bien définie et qu'elle est minorée par 1.
  2. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[1,+\infty[$.
  3. Étudier la monotonie de $u$.
  4. En déduire que $(u_n)$ est convergente, et donner sa limite.

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