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Colles de mathématiques

Théorème du rang et démonstration

Sujet

Énoncer et démontrer le théorème du rang pour une application linéaire entre deux espaces E et F de dimensions finies.

Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires

Correction

Soit f : EF une application linéaire, alors le théorème du rang énonce que

$\text{rg}(f)+\dim\lp\text{Ker}(f)\rp=\dim(E)$

Soit $\left( u_1, u_2, \dots , u_p\rp$ une base du noyau et $\left( v_1, v_2, \dots , v_q\rp$ une base de l'image, c'est-à-dire que pour tout

on a $v_i=f\left( w_i\rp$ .
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille

$\mathcal{F}=\left( u_1, u_2, \dots, u_p, w_1, w_2, \dots, w_q\rp$

est une base de

, c'est-à-dire est une famille génératrice et libre.

Cette famille est libre. En effet, si

$a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0$

alors, en appliquant

, qui est linéaire, on obtient

$a_1f\left( u_1\rp+\dots+a_pf\left( u_p\rp+b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0$

, …,

appartiennent au noyau de

, d'où on doit avoir

$\begin{array}{ll}&b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\\[.5em] \iff&b_1v_1+\dots+b_qv_q=0\enar$

mais comme on $\left( v_1, \dots v_2\rp$ est une base de l'image, en particulier cette famille est libre et on a donc nécessairement

$b_1=\dots=b_q=0$

Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison

$a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0$

on doit donc avoir maintenant

$a_1u_1+\dots+a_pu_p=0$

mais comme $\left( u_1, \dots , u_p\rp$ est une base du noyau, donc en particulier est libre, on doit cette fois avoir nécessairement

$a_1=\dots=a_p=0$

Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille $\mathcal{F}$ est donc libre.

Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque $x\in E$ , et en décomposant dans la base de l'image

$\begin{array}{ll}f(x)&=\alpha_1 v_1+\dots +\alpha_q v_q\\[.5em] &=\alpha_1 f(w_1)+\dots +\alpha_q f(w_q)\enar$

Maintenant

$y=x-\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp$

appartient au noyau de

et on peut donc écrire, sur la base du noyau

$y=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p$

soit

$\begin{array}{ll}x&=y+\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\\[.5em] &=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p+\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\enar$

qui montre donc qu'un élément $x\in E$ quelconque se décompose sur la famille $\mathcal{F}$ qui est donc aussi génératrice.