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Colles de mathématiques

Vrai ou Faux


Sujet


Vrai ou faux ?
  1. En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
  2. Si A est diagonalisable, alors A2 est diagonalisable.
  3. Si A2 est diagonalisable, alors A est diagonalisable.
  4. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.

Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation

Correction


  1. Faux. Un endomorphisme peut n'admettre aucun vecteur propre, mais s'il en admet, il y en a une infinité: si x est vecteur propre, alors αx est aussi un vecteur propre pour tout α.
  2. Vrai. Si A est diagonalisable, il existe D diagonale telle que A=PDP−1 avec D une matrice diagonale, et on a alors
    A2=(PDP−1)2 = PDP−1PDP−1 = PD2P−1
    et, comme D2 est aussi diagonale, A2 est donc diagonalisable (qui plus est dans la même base que A).
  3. Faux, la réciproque précédente est fausse. Il suffit par exemple de considérer une matrice nilpotente, telle que A2=0, par exemple A = 01 00 qui n'est pas diagonalisable alors que A2=0 est la matrice nulle donc diagonale.

    On peut aussi considérer la matrice B = 01 10 qui est telle que B2 est l'identité qui est aussi diagonale.
  4. Faux. Il suffit de considérer deux matrices diagonalisables (triangulaire, avec des valeurs diagonales, et donc valeurs propres, distinctes par exemple), et dont la somme est nilpotente, par exemple:
    A = 11 02 et B = −10 0−2