Colles de mathématiques
Application linéaire ? Noyau et image ?
Sujet
L'application f : R2R3 définie par f (x, y) = (x + y, x − 2y, 0) est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires
Correction
Soit
et
dans
,
et
.
Alors :
![\[\begin{array}{lcl}
f(u+v)&=&\big( (x+x')+(y+y'),(x+x')-2(y+y'),0)\\[.4em]
&=&\big(x+y,x-2y,0)+(x'+y',x'-2y',0)\\[.4em]
&=&f(u)+f(v).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/5.png)
De même,
![\[\begin{array}{lcl}
f(\lambda u)&=&(\lambda x+\lambda y,\lambda x+2\lambda y,0)\\[.4em]
&=&\lambda(x+y,x+2y,0)\\[.4em]
&=&\lambda f(u).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/6.png)
f est donc une application linéaire.
De plus, soit
![\[\begin{array}{ll}
u(x,y)\in\text{Ker}(u)
&\iff f(u)=0\\[.4em]
&\iff\la\begin{array}{lcl} x+y &=& 0\\ x-2y&=&0 \\0=0 \enar\right. \\
&\iff x=y=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/8.png)
Ainsi, Ker(f )={(0,0)}: le noyau de f est réduit au vecteur nul et f est injective.
Le théorème du rang nous fournit que
et
donc que
.
Plus précisément, Soit
,
alors il existe
tel que
,
![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=0\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=0\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/17.png)
Ainsi, tout
et donc
où
et
sont les deux premiers vecteurs de la base canonique de
.
f n'est donc pas surjective, donc pas non plus bijective (ce qui était clair dès le début car f : R2R3 et dim(R2) = 2≠dim(R3) = 3 ou avec le théorème du rang).
![$u=(x,y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/1.png)
![$v=(x',y')$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/2.png)
![$\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/3.png)
![$\lambda\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/4.png)
![\[\begin{array}{lcl}
f(u+v)&=&\big( (x+x')+(y+y'),(x+x')-2(y+y'),0)\\[.4em]
&=&\big(x+y,x-2y,0)+(x'+y',x'-2y',0)\\[.4em]
&=&f(u)+f(v).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/5.png)
De même,
![\[\begin{array}{lcl}
f(\lambda u)&=&(\lambda x+\lambda y,\lambda x+2\lambda y,0)\\[.4em]
&=&\lambda(x+y,x+2y,0)\\[.4em]
&=&\lambda f(u).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/6.png)
f est donc une application linéaire.
De plus, soit
![\[\begin{array}{ll}
u(x,y)\in\text{Ker}(u)
&\iff f(u)=0\\[.4em]
&\iff\la\begin{array}{lcl} x+y &=& 0\\ x-2y&=&0 \\0=0 \enar\right. \\
&\iff x=y=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/8.png)
Ainsi, Ker(f )={(0,0)}: le noyau de f est réduit au vecteur nul et f est injective.
Le théorème du rang nous fournit que
![$\text{dim}\lp\R^2\rp=\text{dim}\lp\text{Ker}(f)\rp+\text{dim}\lp\text{Im}(f)\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/12.png)
![$\text{rg}(f)=\text{dim}\lp\text{Im}(f)\rp=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/13.png)
Plus précisément, Soit
![$v\lp\alpha,\beta,\gamma\rp\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/14.png)
![$u(x,y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/15.png)
![$f(u)=v$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/16.png)
![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=0\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=0\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/17.png)
Ainsi, tout
![$v\lp\alpha,\beta,0\rp\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/18.png)
![$\text{Im}(f)=\text{Vect}\left( e_1,e_2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/19.png)
![$e_1=(1,0,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/20.png)
![$e_2=(0,0,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/21.png)
![$\R^3$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL1_c/22.png)
f n'est donc pas surjective, donc pas non plus bijective (ce qui était clair dès le début car f : R2R3 et dim(R2) = 2≠dim(R3) = 3 ou avec le théorème du rang).