Colles de mathématiques
Application linéaire ? Noyau et image ?
Sujet
L'application f : R2R définie par f (x, y) = x2 − y2 est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires
Correction
f n'est clairement pas linéaire, à cause des carrés:
par exemple,
et
.
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
.
Ainsi, le noyau de
est composé des deux droites vectorielles
.
Pour l'injectivité, comme f n'est pas linéaire, il faut revenir à la définition. Ici f n'est clairement pas injective car, par exemple,
.
L'image de f est R tout entier: f est donc surjective. En effet, si
, alors,
si
,
,
tandis que si
,
.
Comme f n'est pas injective, elle n'est pas non plus bijective.


Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

Ainsi, le noyau de


Pour l'injectivité, comme f n'est pas linéaire, il faut revenir à la définition. Ici f n'est clairement pas injective car, par exemple,

L'image de f est R tout entier: f est donc surjective. En effet, si





Comme f n'est pas injective, elle n'est pas non plus bijective.