Colles de mathématiques
Base de polynômes
Sujet
Pour 0≤k≤n on pose
Pk = Xk(1 − X)n−k .
Montrer que la famille (Pk)0≤k≤n est une base de Rn[X] .
Montrer que la famille (Pk)0≤k≤n est une base de Rn[X] .
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels - Polynômes
Correction
La famille est constituée de n+1 polynômes non nuls,
et
dim(Rn[X]) = n+1 .
Il suffit donc de montrer que la famille est libre.
Pour tout 0≤k≤n, Pk est un polynôme de degré n (et même Pk = (−1)n−kXn+…) et de valuation k .
Soit maintenant n+1 réels λ0, λ1, … , λn , tels que
![\[\lambda_0 P_0+\lambda_1P_1+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_0P_0=-\sum_{k=1}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum 1 et, si λ0 ≠0 , alors Val(λ0P0) = 0 ce qui est impossible.
On a donc necéssairement λ0 = 0 .
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement λ1 = λ2 = … = λn = 0, ce qui montre que la famille est libre, et est donc une base.
Pour tout 0≤k≤n, Pk est un polynôme de degré n (et même Pk = (−1)n−kXn+…) et de valuation k .
Soit maintenant n+1 réels λ0, λ1, … , λn , tels que
Cette relation se réécrit
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum 1 et, si λ0 ≠0 , alors Val(λ0P0) = 0 ce qui est impossible.
On a donc necéssairement λ0 = 0 .
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement λ1 = λ2 = … = λn = 0, ce qui montre que la famille est libre, et est donc une base.