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Colles de mathématiques

Calcul de limite


Sujet


Déterminer $\dsp\lim_{x\to0}\lp\dfrac{\sin x}{x}\rp^{\frac1{x^2}}$

Corrigé de l'exercice de maths: Développements limités - Limite

Correction


On a
\[\begin{array}{ll}\lp\dfrac{\sin x}{x}\rp^{\frac1{x^2}} &=\exp\lb\dfrac1{x^2}\ln\lp\dfrac{\sin x}{x}\rp\rb\\[1.2em] &=\exp\lb\dfrac1{x^2}\ln\lp\dfrac{x-\frac{x^3}{6}+o\lp x^3\right)}{x}\right)\rb\\[1.2em] &=\exp\lb\dfrac1{x^2}\ln\lp1-\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^2\rp\rp\rb\\[1.2em] &=\exp\lb\dfrac1{x^2}\lp-\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^2\rp\rp\rb\\[1.2em] &=\exp\lb-\dfrac16+o\lp1\rp\right] \enar\]

et donc,
\[\lim_{x\to0}\lp\dfrac{\sin x}{x}\rp^{\frac1{x^2}}=e^{-1/6}\]