Colles de mathématiques
Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis
Sujet
Utiliser le théorème des accroissements finis,
appliqué à la fonction
x ↦ ex − 1 − x
pour démontrer que:
limx0
ex −1 − xx2
=
12
Corrigé de l'exercice de maths: Limite - Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
On applique le théorème des accroissements finis à
définie par
:
il existe
tel que
![\[f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)=x\left( e^c-1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/4.png)
On applique une deuxième fois le théorème des accroissements finis, à la fonction
définie par
,
sur
: il existe
tel que
![\[g(c)-g(0)=(c-0)g'(d) \iff e^c-1=ce^d\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/9.png)
En résumé, on a obtenu, avec
,
![\[f(x)-f(0)=e^x-1-x=x\left( e^c-1\rp=xce^d<x^2e^x\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/11.png)


![$c\in]0;x[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/3.png)
![\[f(x)-f(0)=(x-0)f'(c)=x\left( e^c-1\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/4.png)
On applique une deuxième fois le théorème des accroissements finis, à la fonction


![$]0;c[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/7.png)
![$d\in]0;c[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/8.png)
![\[g(c)-g(0)=(c-0)g'(d) \iff e^c-1=ce^d\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/9.png)
En résumé, on a obtenu, avec

![\[f(x)-f(0)=e^x-1-x=x\left( e^c-1\rp=xce^d<x^2e^x\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exlimAF2_c/11.png)