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Colles de mathématiques

Calcul de limite: composées de radicaux


Sujet


Déterminer $\dsp\lim_{n\to+\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}$.

Corrigé de l'exercice de maths: Développements limités - Limite

Correction


On a
\[\begin{array}{ll}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} &=\sqrt{x+\sqrt{x\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\right)}}\\[1.4em] &=\sqrt{x+\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}}\\[1.4em] &=\sqrt{x\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}\right)}\\[1.4em] &=\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}} \enar\]

soit, en posant $u=\dfrac1{\sqrt{x}}$, et en développant au permier ordre,
\[\begin{array}{ll}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\dfrac1u\sqrt{1+u\sqrt{1+u}} &=\dfrac1u\sqrt{1+u\lp1+\dfrac12u+o(u)\right)}\\[1em] &=\dfrac1u\sqrt{1+u+\dfrac12u^2+o\left( u^2\right)}\\[1em] &=\dfrac1u\lp1+\dfrac12u+o(u)\rp\\[1em] &=\dfrac1u+\dfrac12+o(1) \enar\]

et on trouve alors la limite recherchée:
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x} =\lim_{u\to0}\dfrac1u\sqrt{1+u\sqrt{1+u}}-\dfrac1u =\dfrac12\]