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Colles de mathématiques

Calcul matriciel - Inverse


Sujet


Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\rp$. Montrer que $A^2=2I-A$.
En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

Corrigé de l'exercice de maths: Matrices

Correction


On trouve bien que
\[A^2=AA= \lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\right) \lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\right) =\lp\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\enar\right) =AI-A\]


On a donc aussi $\dfrac12\left( A^2+A\rp=I\iff A\dfrac12\left( A+I\rp=\dfrac12\left( A+I\rp A=I$,
ce qui montre que $A$ est inversible avec $A^{-1}=\dfrac12\left( A+I\rp$.