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Colles de mathématiques

Matrice d'une application linéaire dans des bases pas canoniques



Exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Espaces vectoriels

Sujet


Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$ dont la matrice dans leur base canonique respective est
\[A=\lp\begin{array}{ccc} 2&-1&1\\ 3&2&-3\enar\rp.\]

On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\R^2$.
On pose
\[e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\]

et
\[f_1'=\dfrac12(f_1+f_2),\ f_2'=\dfrac12(f_1-f_2)\]

  1. Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\R^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\R^2$.
  2. Quelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases?

Correction