Colles de mathématiques
Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau
Sujet
Soient E, F et G trois espaces vectoriels,
et soient f∈ℒ(E,F) et g∈ℒ(F,G).
Démontrer que
Démontrer que
g ο f = 0 ⇔ Im(f )⊂Ker(g)
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires
Correction
Supposons g ο f = 0.
Soit alors y∈Im(f ), c'est-à-dire qu'il existe x∈E tel que y = f(x).
On a alors g(y) = g(f(x)) = (g ο f )(x) = 0 d'où y∈Ker(g) et on a donc obtenu que Im(f)⊂Ker(g ).
Réciproquement, supposons que Im(f )⊂Ker(g ).
Soit alors x∈E, alors, par définition, f (x)∈Im(f ), et donc, par hypothèse f (x)∈ker(g), c'est-à-dire g(f (x)) = (g ο f ) (x) = 0 ou encore, ceci étant valable pour tout x∈E, g ο f = 0.
Soit alors y∈Im(f ), c'est-à-dire qu'il existe x∈E tel que y = f(x).
On a alors g(y) = g(f(x)) = (g ο f )(x) = 0 d'où y∈Ker(g) et on a donc obtenu que Im(f)⊂Ker(g ).
Réciproquement, supposons que Im(f )⊂Ker(g ).
Soit alors x∈E, alors, par définition, f (x)∈Im(f ), et donc, par hypothèse f (x)∈ker(g), c'est-à-dire g(f (x)) = (g ο f ) (x) = 0 ou encore, ceci étant valable pour tout x∈E, g ο f = 0.