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Colles de mathématiques

Décomposition harmonique d'un signal triangulaire


Sujet


Soit f la fonction 2π-périodique et paire définie par, f (x) = π/2 − x pour tout x∈[0; π[.
  1. Déterminer la série de Fourier de f.
  2. En déduire la somme S =   ∑ n≥1 1/(2n + 1)2 puis la somme T =   ∑ n≥1 1/n2

Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier

Correction


    • La fonction est 2π-périodique, continue sur R et affine par morceaux avec, pour tout x∈[0; π[, f (x) = π/2 − x.
      La fonction est paire et donc, pour tout entier n≥1, on a bn = 0
    • sa valeur moyenne est aussi nulle:
      Calcul du coefficient a_0 = 0

    • La pulsation est ω = 2π/T = 1 et alors, pour tout entier n≥1, on a
      \[\begin{array}{ll} a_n&=\dsp\dfrac4T\int_0^\pi f(t)\cos(n\omega t)\,dt\\[1.2em] &=\dsp\dfrac2\pi\int_0^\pi\lp\dfrac\pi2-t\rp\cos(nt)dt \enar\]

      soit, en intégrant par parties,
      \[a_n=\dfrac2\pi\Bigr[\lp\dfrac\pi2-t\rp\dfrac{\sin(nt)}{n}\Bigr]_0^\pi -\dfrac2\pi\int_0^\pi(-1)\dfrac{sin(nt)}{n}dt\]

      et donc, puisque sin(nπ) = sin(0) = 0,
      Calcul des coefficients a_n

      enfin, comme cos(nπ) = (−1)n, on obtient donc que les coefficients de rang pair sont nuls: $a_{2p}=0$ et ceux de rang impair valent $a_{2p+1}=\dfrac4{(2p+1)^2\pi}$
    • Comme f est continue sur R, on obtient pour tout x réel,
      \[f(x)=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac{\cos\bigl((2p+1)x\bigr)}{(2p+1)^2}\]


  2. On en déduit en particulier, pour x = 0, que
    \[f(0)=\dfrac\pi2=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac1{(2p+1)^2}\]

    d'où
    \[S=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}\]

    et alors, pour la somme de Riemann, en décomposant termes pairs/impairs,
    \[\begin{array}{ll}T&=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{n^2}\\[1em] &=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n)^2} +\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n+1)^2}\\[1em] &=\dsp\dfrac14T+S \enar\]

    On trouve donc $\dfrac34T=S$, soit $T=\dfrac43S=\dfrac{\pi^2}{6}$.