Colles de mathématiques
Décomposition harmonique d'un signal triangulaire
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Sujet
Soit f la fonction 2π-périodique et paire définie par,
f (x) = π2 − x pour tout x∈[0; π[.
- Déterminer la série de Fourier de f.
- En déduire la somme S = ∑ n≥1 1(2n + 1)2 puis la somme T = ∑ n≥1 1n2
Corrigé de l'exercice de maths: Série de Fourier
Correction
-
- La fonction est 2π-périodique, continue sur R et affine par morceaux
avec, pour tout x∈[0; π[, f (x) = π2 − x.
La fonction est paire et donc, pour tout entier n≥1, on a bn = 0 - sa valeur moyenne est aussi nulle:
- La pulsation est ω = 2πT = 1 et alors,
pour tout entier n≥1, on a
soit, en intégrant par parties,
et donc, puisque sin(nπ) = sin(0) = 0,
enfin, comme cos(nπ) = (−1)n, on obtient donc que les coefficients de rang pair sont nuls: et ceux de rang impair valent
- Comme f est continue sur R, on obtient pour tout x réel,
- La fonction est 2π-périodique, continue sur R et affine par morceaux
avec, pour tout x∈[0; π[, f (x) = π2 − x.
- On en déduit en particulier, pour x = 0, que
d'où
et alors, pour la somme de Riemann, en décomposant termes pairs/impairs,
On trouve donc , soit .