Colles de mathématiques
Décomposition d'un polynôme de degré n
Sujet
Soit
et
,
,
.
![$n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP4/1.png)
![$a\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP4/2.png)
![$a\not=k\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP4/3.png)
![$k\in\Z$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDecompP4/4.png)
- Résoudre l'équation
- En déduire une factorisation de
dans
- En déduire une factorisation de
dans
Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes - Nombres complexes
Correction
- Le discriminant de ce trinôme du second degré est
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées
et
- En posant
, on a
qui a comme racines
donc
et
donc
,pour tout entier
.
En notantet
on a donc la factorisation dans
:
- La factorisation de
dans
s'obtient en effectuant, dans la factorisation précédente, les produits de polynômes du premier degré dans les racines sont conjuguées:
et
On obtient donc