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Colles de mathématiques

Décomposition d'un polynôme de degré n


Sujet


Soit $n\in\N$ et $a\in\R$, $a\not=k\pi$, $k\in\Z$.
  1. Résoudre l'équation $X^2-2\cos(a)X+1=0$
  2. En déduire une factorisation de $P(X)=X^{2n}-2\cos(a)X^n+1$ dans $\C[X]$
  3. En déduire une factorisation de $P(X)$ dans $\R[X]$

Corrigé de l'exercice de maths: Polynômes - Nombres complexes

Correction


  1. Le discriminant de ce trinôme du second degré est
    \[\begin{array}{ll}\Delta&=4\cos^2(a)-4=4\lp\cos^2(a)-1\rp\\ &=-4\sin^2(a)\\ &=\lp2i\sin(a)\rp^2\enar\]


    L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées
    \[\alpha=\dfrac{2\cos(a)+2i\sin(a)}{2}=e^{ia}\]

    et
    \[\overline{\alpha}=e^{-ia}\]


  2. En posant $Y=X^n$, on a $P(X)=Y^2-2\cos(a)Y+1$ qui a comme racines $Y=X^n=\alpha=e^{ia}$ donc $X=e^{ia/n}e^{2ik\pi/n}=e^{i(2k\pi+a)/n}$ et $Y=X^n=\overline{\alpha}=e^{-ia}$ donc $X=e^{i(2k\pi-a)/n}$,pour tout entier $0\leqslant k\leqslant n-1$.

    En notant $\alpha_k=e^{i(2k\pi+a)/n}$ et $\beta_k=e^{i(2k\pi-a)/n}$ on a donc la factorisation dans $\C[X]$:
    \[\begin{array}{ll}P(X)&=X^{2n}-2\cos(a)X^n+1\\ &=\dsp\prod_{k=0}^{n-1}\left( X-\alpha_k\rp\left( X-\beta_k\rp \enar\]


  3. La factorisation de $P(X)$ dans $\R[X]$ s'obtient en effectuant, dans la factorisation précédente, les produits de polynômes du premier degré dans les racines sont conjuguées:
    \[\begin{array}{ll}\overline{\alpha_k}&=e^{-ia/n}e^{-2ik\pi/n}\\ &=e^{-ia/n}e^{-2ik\pi/n+2i\pi}\\ &=e^{-ia}e^{2i\pi(n-k)/n}\\ &=\beta_{n-k}\enar\]

    et
    \[\begin{array}{ll}\left( X-\alpha_k\rp\left( X-\beta_{n-k}\rp &=X^2-2\Re e\lp\alpha_k\right) X+\left|\alpha_k\right|^2\\ &=X^2-2\cos\lp\dfrac{2k\pi+a}{n}\right) X+1\enar\]


    On obtient donc
    \[P(X)=\prod_{k=0}^{n-1}\left( X^2-2\cos\left(\dfrac{2k\pi+a}{n}\right) X+1\right)\]