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Colles de mathématiques

Dérivée d'une somme géométrique


Sujet


Pour x∈R et n∈N*, calculer la somme n ∑ k=1 kxk−1

Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Sommes

Correction


Soit la fonction polynôme $f(x)=\dsp\sum_{k=1}^n x^k$.
$f$ est dérivable sur $\R$ (et même $C^\infty$), et on a, pour tout réel $x$, $f'(x)=\sum_{k=1}^nkx^{k-1}$.
Par ailleurs, on a f(x)=x\dfrac{x^n-1}{x-1}, et donc
f'(x)=\dfrac{x^n-1}{x-1}+x\dfrac{nx^{n-1}(x-1)-( x^n-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{(x^n-1(x-1)+nx^n(x-1)-x( x^n-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}


On a ainsi, f'(x)=\sum_{k=1}^nkx^{k-1}= \sum_{k=1}^nkx^{k-1}.