Colles de mathématiques
Deux tentatives pour joindre des correspondants
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Sujet
Une secrétaire cherche à joindre n correspondants.
Pour chaque appel, indépendamment, elle a une probabilité p de les joindre, avec p∈]0;1[.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre dès la première tentative.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre dès la première tentative.
- Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
- Soit Y la variable qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre lors d'une seconde tentative (elle en contacte n − X).
Soit Z la variable aléatoire donnée par Z = X + Y. Donner le support de Z. - Calculer P(Z = 0) et P(Z = 1).
- Donner la loi de Z.
Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Oral B/L ENSAE - Saclay - 2019
- On répète
fois l'expérience aléatoire "appeler un corresponnant", de manière identique et indépendante, et dont le succès est "le correspondant répond" de probabilité
.
La variable aléatoire, qui est égale au nombre succès, suit donc la loi binomiale de paramètres
et
. Son espérance est
et sa variance
.
-
, car
compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre au total, 1er et 2ème appel.
-
et
- D'après la formule des probabilités totales, et en posant
,
où
d'où
soit, avec la formule du biôme de Newton:
or
d'où
ce qui montre que, finalement, la variable aléatoiresuit la loi binomiale de paramètres
et
.