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Colles de mathématiques

Deux tentatives pour joindre des correspondants

Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019


Sujet


Une secrétaire cherche à joindre n correspondants. Pour chaque appel, indépendamment, elle a une probabilité p de les joindre, avec p∈]0;1[.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre dès la première tentative.
  1. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
  2. Soit Y la variable qui compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre lors d'une seconde tentative (elle en contacte n − X).

    Soit Z la variable aléatoire donnée par Z = X + Y. Donner le support de Z.
  3. Calculer P(Z = 0) et P(Z = 1).
  4. Donner la loi de Z.

Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires - Annales ENSAE - Saclay - B/L

Correction


Oral B/L ENSAE - Saclay - 2019
  1. On répète $n$ fois l'expérience aléatoire "appeler un corresponnant", de manière identique et indépendante, et dont le succès est "le correspondant répond" de probabilité $p$.
    La variable aléatoire $X$, qui est égale au nombre succès, suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. Son espérance est $E(X)=np$ et sa variance $V(X)=np(1-p)$.
  2. $Z(\Omega)=[\![0; n ]\!]$, car $Z$ compte le nombre de correspondants qu'elle parvient à joindre au total, 1er et 2ème appel.

  3. \[\begin{array}{ll}P(Z = 0)&=P\left( X=0\cap Y=0\rp\\ &=(1-p)^n(1-p)^n\\ &=(1-p)^{2n}\enar\]


    et
    \[\begin{array}{lcl}P(Z = 1)&=&P\left( X=0\cap Y=1\rp+P\left( X=1\cap Y=0\rp\\ &=&(1-p)^n\times np(1-p)^{n-1} +np(1-p)^{n-1}\times (1-p)^{n-1}\\ &=&np(1-p)^{2n-2}\left( (1-p)+1\rp\\ &=&np(1-p)^{2n-2}\left( 2-p\rp\\ \enar\]

  4. D'après la formule des probabilités totales, et en posant $q=1-p$,
    \[\begin{array}{lcl} P(Z=k)&=&\dsp\sum_{i=0}^kP(X=i\cap Y=k-i)\\ &=&\dsp\sum_{i=0}^kP(X=i)\,P\left( Y=k-i| X=i\rp\\ &=&\dsp\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}p^iq^{n-i}\binom{n-i}{k-i}p^{k-i}q^{(n-i)-(k-i)}\\ &=&p^kq^{2n-k}\dsp\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}q^{-i} \enar\]

    où
    \[\begin{array}{lcl}\dsp\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i} &=&\dfrac{n!}{i!(n-i)!}\tm\dfrac{(n-i)!}{(k-i)!(n-k)!}\\ &=&\dfrac{n!}{i!(k-i)!(n-k)!}\\ &=&\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\dsp\binom{k}{i}\\ &=&\dsp\binom{n}{k}\binom{k}{i}\\ \enar\]

    d'où
    \[\begin{array}{lcl}P(Z=k) &=&\dsp\binom{n}{k}p^kq^{2n-k}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}\lp\dfrac1q\rp^i \enar\]

    soit, avec la formule du biôme de Newton:
    \[\begin{array}{lcl}P(Z=k) &=&\dsp\binom{n}{k}p^kq^{2n-k}\lp1+\dfrac1q\rp^k\\ &=&\dsp\binom{n}{k}\left( q^2\rp^{n-k}\left( p(1+q)\rp^k\\ \enar\]

    or
    \[p(1+q)=(1-q)(1+q)=1-q^2\]

    d'où
    \[P(Z=k)=\dsp\binom{n}{k}\left( q^2\rp^{n-k}\left(1-q^2\rp^k\]

    ce qui montre que, finalement, la variable aléatoire $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $1-q^2$.