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Colles de mathématiques

Diagonalisabilité d'une application linéaire entre polynomes

Oral ENS Ulm, filière B/L, 2016



Exercice de maths: Diagonalisation - Annales ENS Ulm - B/L

Sujet


  1. Soit A et B deux réels et f : ]0; 1[ R une fonction de classe C1 qui vérifie, pour tout x∈]0; 1[,
    f '(x) = A/x + B/x − 1 f (x)

    Montrer qu'il existe une constante C telle que, pour tout x∈]0; 1[, f (x) = CxA(x − 1)B
    Indication: on pourra considérer la fonction définie par g(x) = f (x)/xA(x − 1)B
  2. Soit un entier n≥2 et l'application Φ: Rn[X] Rn[X] P ↦ X(X−1)P' − n(X+1)P
    1. Montrer que Φ est un endomorphisme de Rn[X].
    2. Soit λ∈R. Montrer qu'il existe deux réels Aλ et Bλ (qui dépendent de λ et n) tels que, pour tout x∈]0; 1[,
      n(x+1) + λ/x(x − 1) = Aλ/x + Bλ/x − 1
    3. Montrer que Φ est diagonalisable.

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