Colles de mathématiques
Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Sujet
La matrice
A =
71
13
est-elle diagonalisable ?
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation
Correction
La matrice
A =
71
13
est symétrique réelle,
donc diagonalisable.
Si on ne connaît pas ce théorème spectral, on peut aussi (et doit savoir) le montrer.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
Ce trinôme du second degré a pour discriminant et admet donc deux racines: les deuxvaleurs propres de A qui est donc diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule , soit
et,
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
Le discriminant de ce dernier trinôme est
A admet alors deux valeurs propres distinctes, et est donc diagonalisable.
Si on ne connaît pas ce théorème spectral, on peut aussi (et doit savoir) le montrer.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
Ce trinôme du second degré a pour discriminant et admet donc deux racines: les deuxvaleurs propres de A qui est donc diagonalisable.
Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule , soit
et,
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
Le discriminant de ce dernier trinôme est
A admet alors deux valeurs propres distinctes, et est donc diagonalisable.