Colles de mathématiques
Endomorphisme de polynômes
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
oral HEC, BL - 2022.
On note
l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2. On définit les fonctions
,
,
par:
![\[e_0(t) = 1 ,\ e_1(t) = t , \ e_2 (t) = t^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/HEC-BL-2022-4.1/5.png)
pour tout réel
.
On rappelle que la famille
est une base de
.
On considère l'application
qui, à toute fonction
de
, associe la fonction, notée
, définie par:
![\[\forall x\in\R,
\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)dt\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/HEC-BL-2022-4.1/13.png)
On note




![\[e_0(t) = 1 ,\ e_1(t) = t , \ e_2 (t) = t^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/HEC-BL-2022-4.1/5.png)
pour tout réel

On rappelle que la famille






![\[\forall x\in\R,
\varphi(P)(x)=\int_0^1P(x+t)dt\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/HEC-BL-2022-4.1/13.png)
- Question de cours : Critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire.
- Montrer que
est un endomorphisme de
.
-
- Écrire la matrice
de
dans la base
.
- Justifier que
est un automorphisme de
.
- L'endomorphisme
est-il diagonalisable?
- Écrire la matrice
-
- Montrer que pour tout entier naturel
, il existe un réel
tel que:
- En déduire, par sommation, l'expression de
pour tout entier
.
- Montrer que pour tout entier naturel
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Diagonalisation - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation
- Une matrice est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre.
Or une matrice triangulaire a ses valeurs propres directement sur sa diagonale.
Ainsi, une matrice triangulaire est inversible si et seulement ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.
- La linéarité de
découle directement de la linéarité de l'intégrale. En effet, soit
et
deux réels et
et
deux polynômes de
, alors, pour tout réel
,
c'est-à-dire que
et cette application est donc bien linéaire.
Il reste maintenant à montrer que pour, on a aussi
.
On peut le montrer on prenant un polynôme quelconque de, soit
, et calculer
.
Plus simplement, on peut mettre à profit la linéarité que l'on veint de démontrer et donc séparer le calcul précédent en les calculs de,
et
.
On a
puis
et enfin
On trouve ainsi que,
, et
, et donc, par linéarité, pour tout
, on a
, c'est-à-dire que
est un endomorphisme de
.
-
- D'après les calculs précédents, on a trouvé que
et
et
On a donc la matrice dedans la base
,
- La matrice
est triangulaire supérieure, et d'après la question de cours, on sait ici qu'elle est donc inversible, et l'application
est donc un automorphisme.
- Les valeurs propres de
sont sur sa diagonale: 1 est l'unique valeur propre de
.
Siétait diagonalisable, elle serait donc semblable à la matrice diagonale qui ne comporte que des 1 dans sa diagonale: l'identité
.
On aurait alors, ce qui n'est pas le cas. Ainsi,
n'est pas diagonalisable.
- D'après les calculs précédents, on a trouvé que
- On peut démontrer ce résultat par récurrence.
Cette expression est vraie pour
, en prenant
.
Puis, sin on suppose que cette expression deest vraie pour un certain entier
, alors le calcul de
vérifie encore l'expression voulue, si tant est que
Avec cette expression de, le principe de récurrence montre alors que l'expression de
est vraie pour tout entier
.
- On a trouvé que
et donc, en sommant,
La somme de gauche est télescopique, et on trouve donc
et donc, avec,