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Colles de mathématiques

Endomorphisme qui conserve l'orthogonalité


Sujet


Soit E un espace euclidien de dimension n, muni du produit scalaire ⟨ . , . ⟩ et de la norme associée || . ||.
Soit f un endomorphisme de E qui vérifie
∀(x, y)∈E2,   ⟨x, y⟩ = 0 ⇒ ⟨f (x), f (y)⟩ = 0
  1. Montrer que si x et y sont des vecteurs de même norme, alors x − y et x + y sont orthogonaux.
  2. Montrer qu'il existe un réel positif k tel que, pour tout vecteur unitaire x∈E, on a ||f (x)|| = k.
  3. Montrer que, pour tout x∈E, ||f (x)|| = k||x||.

Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens

Correction


  1. On a, en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire
    ⟨x − y , x + y⟩ = ||x||2 + ⟨x, y⟩ − ⟨y, x⟩ − ||y||2 = ||x||2 − ||y||2 = 0
    pour des vecteurs x et y de même norme.
  2. Soit un vecteur unitaire x∈E, c'est-à-dire que ||x|| = 1, et posons k = ||f (x)||.
    Soit alors y∈E un autre vecteur unitaire, et montrons que ||f (y)|| = ||f (x)|| = k.

    Comme x et y sont tous les deux unitaires, ils ont en particulier la même norme, et donc, d'après la question précédente,
    ⟨x − y , x + y⟩ = 0
    et donc, par hypothèse sur f,
    ⟨f(x − y) , f(x + y)⟩ = 0
    En utilisant alors la linéarité de f et la bilinéarité du produit scalaire, on obtient donc
    0 = ⟨f(x − y) , f(x + y)⟩ = ||f(x)||2 + ⟨f(x) , f(y)⟩ − ⟨f(y) , f(x)⟩ − ||f(y)||2
    et donc, grâce à la symétrie du produit scalaire,
    ||f(x)|| = ||f(y)|| = k
  3. Pour tout vecteur unitaire x on a donc ||f (x)|| = k.
    Soit y∈E.
    Si y = 0, on a directement f(y) = 0 donc ||f (y)|| = k||y|| = 0.
    Pour y≠0, on se ramène au cas précédent d'un vecteur unitaire en posant
    z = 1||y||y
    qui est unitaire et donc, d'après la question précédente,
    ||f (z)|| = k
    or
    f (z) = 1||y||f (y)
    d'où
    ||f (z)|| = 1||y||||f (y)||
    et donc, finalement,
    ||f (z)|| = k ⇔ ||f (y)|| = k||y||