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Colles de mathématiques

Endomorphisme antisymétrique



Exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens

Sujet


Soit E un espace euclidien de dimension n≥2. Un endomorphisme u∈ℒ(E) est dit antisymétrique si
∀(x, y)∈E2,   ⟨u(x), y⟩ = − ⟨x, u(y)⟩
  1. Montrer que u est antisymétrique si et seulement si, pour tout x∈E, ⟨x, u(x)⟩ = 0

    Dans la suite, u est un endomorphisme antisymétrique.
  2. Démontrer que Im(u) = ker(u)⊥.
  3. Soit F un sous-espace de E stable par u. Démontrer que F⊥ est stable par u.
  4. Montrer que ker(u) = ker(u2).
  5. Démontrer que le spectre de u est soit vide, soit restreint à {0}.
  6. Montrer que les valeurs propres de u2 sont négatives.

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