Colles de mathématiques
Endomorphisme qui conserve l'orthogonalité
Exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens
Sujet
Soit E un espace euclidien de dimension n,
muni du produit scalaire ⟨ . , . ⟩ et
de la norme associée || . ||.
Soit f un endomorphisme de E qui vérifie
Soit f un endomorphisme de E qui vérifie
∀(x, y)∈E2, ⟨x, y⟩ = 0
⇒ ⟨f (x), f (y)⟩ = 0
- Montrer que si x et y sont des vecteurs de même norme, alors x − y et x + y sont orthogonaux.
- Montrer qu'il existe un réel positif k tel que, pour tout vecteur unitaire x∈E, on a ||f (x)|| = k.
- Montrer que, pour tout x∈E, ||f (x)|| = k||x||.