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Colles de mathématiques

Ensemble de matrices stable par produit



Exercice de maths: Matrices

Sujet


Pour $a\in\R$ on pose $M(a)=\lp\begin{array}{ccc}1-2a&a&a\\a&1-2a&a\\a&a&1-2a\enar\rp$ et $\mathcal{F}=\Bigl\{ M(a) \text{ avec } a\in\R\Bigr\}$.
  1. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a $M(a)\times M(b) = M(a+b-3ab)$.
  2. Soit $a\in\R$. Montrer que $\left( M(a)\rp^n\in\mathcal{F}$ pour tout entier $n$.
  3. Déterminer les éléments de $\mathcal{F}$ qui sont inversibles.

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