Colles de mathématiques
Ensemble de matrices stable par produit
Sujet
Pour
on pose
et
.



- Montrer que pour tous réels
et
on a
.
- Soit
. Montrer que
pour tout entier
.
- Déterminer les éléments de
qui sont inversibles.
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices
Correction
- Le produit matriciel donne le résultat
.
- Par récurrence:
et
.
Si on suppose que, c'est-à-dire que
pour un certain réel
, alors
On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier,
.
- Comme
et
, pour trouver l'inverse de de
il suffit de trouver
tel que
, soit, si
,
.
Ainsi, pour,
est inversible et
Si, on a, pour tout réel
,
ce qui montre quen'est pas inversible.
On aurait aussi pu le montrer en écrivant la matrice
qui est une matrice de rang 1, donc non inversible.