Colles de mathématiques
Étude avec fonctions trigonométriques réciproques
Sujet
Soit f la fonction définie sur R par
f (x) = cos(arctan(2x+1)) .
- Étudier le sens de variation de f, ses limites en ±∞ .
- Montrer que la restriction de f à [−1/2; +∞[ admet une fonction réciproque g dont on précisera l'ensemble de définition.
- Calculer f (0) puis g'(2/2) .
Corrigé de l'exercice de math
Correction
- Le sens de variation de
est donné par le signe de sa dérivée:
On a, et par ailleurs
est du signe de
pour
,
est donc du signe opposé à
.
Mais,
Ainsi,est croissante sur
et décroissante sur
.
D'autre part, par composition des limites
On trouve le même résultat en:
- D'après la première question,
on a
si
. Ainsi,
est continue et strictement décroissante sur l'intervalle
.
On a de pluset
.
réalise donc une bijection de
sur
. Elle admet en particulier une fonction réciproque
définie sur
, et à valeurs dans
.
- Puisque
ne s'annule pas sur
,
est de classe
sur
.
En plus, en dérivant la relation, pour tout,
d'où,
Or. et donc