Colles de mathématiques
Étude de fonction, bijection et réciproque
Sujet
Soit f la fonction définie par l'expression
f (x) = xex .
- Étudier les variations de f.
Préciser la tangente à la courbe de f à l'origine. - Justifier que f réalise une bijection de I = [−1;+∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
- Tracer dans un repère l'allure de la courbe de f et celle de sa fonction réciproque.
- On note g la fonction réciproque de f . Montrer que, pour x∈J et x≠0, g'(x) = g(x)x(1+g(x)) .
Corrigé de l'exercice de math
Correction
-
, ainsi
et
est décroissante sur
, et
et
croissante sur
.
On peut compléter avec les limites:, par croissances comparées, et
.
À l'origine, en, la tangente a pour équation
.
-
est donc une bijection entre
et
.
- Les courbes de
et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation
.
- Comme
ne s'annule pas sur
,
est dérivable sur
.
Comme f(g(x))=x pour tout, on obtient en dérivant,
, soit
.
Or, donc
,
et de plus, donc aussi
.
Ainsi,.