Colles de mathématiques
Expression explicite d'une suite récurrente
Sujet
Soit
la suite définie par
,
et pour tout entier
,
.
Montrer que, pour tout entier
,
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/1.png)
![$u_0=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/2.png)
![$u_1=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/3.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/4.png)
![$u_{n+2}-u_{n+1}-6u_n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/5.png)
Montrer que, pour tout entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/6.png)
![$u_n=(-2)^n+3^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec/7.png)
Corrigé de l'exercice de maths: Suites - Récurrence
Correction
On peut démontrer cette formule par récurrence sur
.
Pour
,
et
, ce qui montre que
la formule est vraie aux rangs 0 et 1.
Soit un entier
, et supposons que la formule soit vraie
aux rangs
et
(on pourrait aussi supposer que la formule est vraie pour tout entier
),
c'est-à-dire que
et
.
Au rang suivant
on a alors
![\[\begin{array}{ll}u_{n+2}&=u_{n+1}+6u_n\\[.5em]
&=\lp(-2)^{n+1}+3^{n+1}\rp+6\lp(-2)^n+3^n$ \rp\\[.7em]
&=(-2)^n\lp-2+6\rp+3^n\lp3+6\rp\\[.5em]
&=(-2)^n\tm2^2+3^n\tm3^2\\[.5em]
&=(-2)^{n+2}+3^{n+2}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/12.png)
et la formule est encore vraie.
On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier
,
.
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/1.png)
Pour
![$n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/2.png)
![$(-2)^0+3^0=1+1=2=u_0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/3.png)
![$(-2)^1+3^1=-2+3=1=u_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/4.png)
Soit un entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/5.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/6.png)
![$n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/7.png)
![$k\leqslant n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/8.png)
![$u_n=(-2)^n+3^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/9.png)
![$u_{n+1}=(-2)^{n+1}+3^{n+1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/10.png)
Au rang suivant
![$n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/11.png)
![\[\begin{array}{ll}u_{n+2}&=u_{n+1}+6u_n\\[.5em]
&=\lp(-2)^{n+1}+3^{n+1}\rp+6\lp(-2)^n+3^n$ \rp\\[.7em]
&=(-2)^n\lp-2+6\rp+3^n\lp3+6\rp\\[.5em]
&=(-2)^n\tm2^2+3^n\tm3^2\\[.5em]
&=(-2)^{n+2}+3^{n+2}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/12.png)
et la formule est encore vraie.
On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/13.png)
![$u_n=(-2)^n+3^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exrec_c/14.png)