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Colles de mathématiques

Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles


Sujet


On considère la série entière   ∑ n≥1 (−1)n+1/2nn!xn.
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.

Corrigé de l'exercice de maths: Séries entières

Correction


Soit $u_n=\dfrac{1}{2^n n!}|x|^{2n}$, alors, pour tout $x$,
\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=|x|^2\dfrac{1}{2(n+1)}\to0\]

et la règle de d'Alembert montre donc que le rayon de convergence est $+\infty$.

la présence de $n!$ incite à se rapprocher de la série de la fonction exponentielle, ici de $-x^2/2$.
Plus précisément, en faisant attention aussi au 1er terme manquant,
\[\begin{array}{ll}S(x)&=\dsp\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^n n!}x^{2n}\\[1em] &=-\dsp\sum_{n\geq 1}\dfrac1{n!}\lp\dfrac{-x^2}{2}\rp^n \\[1em] &=-\dsp\sum_{n\geq 0}\dfrac1{n!}\lp\dfrac{-x^2}{2}\rp^n +1\\[1em] &=1-\exp\lp-x^2/2\right) \]