Colles de mathématiques
Inégalités de convexité
Sujet
Soit de classe telle que pour tout .
- Justifier que est croissante.
Première partie.
- Montrer que, pour tout , on a
- Montrer que .
Deuxième partie.
- Montrer que, pour tout , on a:
- Montrer que
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
Oral Ulm, 2017
- On a et donc est croissante.
- Pour montrer cette inégalité, on peut penser à étudier le signe de la différence:
soit la fonction définie par l'expression
Cette fonction est dérivable, avec
Comme est croissante, on en déduit que donc décroissante sur et que donc croissante sur .
En particulier, admet et atteint son minimum en , et donc, pour tout ,
ce qui nous donne l'inégalité souhaitée. - On intégre la relation précédente:
où
et
On obtient donc bien finalement
- Soit .
D'après le théorème des accroissements finis sur , car y est continue et dérivable,
De même, sur ,
Or est croissante, et donc, en particulier, comme ,
d'où
- En isolant dans l'inégalité précédente, dans le but d'intégrer ensuite entre 0 et 1,
et donc