Colles de mathématiques
Inégalités de convexité
Sujet
Soit
de classe
telle que
pour tout
.
![$f:[0;1]\to\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/igcvx/1.png)


![$x\in[0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/igcvx/4.png)
- Justifier que
est croissante.
Première partie.
- Montrer que, pour tout
, on a
- Montrer que
.
Deuxième partie.
- Montrer que, pour tout
, on a:
- Montrer que
Corrigé de l'exercice de maths: Théorèmes de Rolle & accroissements finis
Correction
Oral Ulm, 2017
- On a
et donc
est croissante.
- Pour montrer cette inégalité, on peut penser à étudier le signe de la différence:
soit la fonction
définie par l'expression
Cette fonction est dérivable, avec
Commeest croissante, on en déduit que
donc
décroissante sur
et que
donc
croissante sur
.
En particulier,admet et atteint son minimum en
, et donc, pour tout
,
ce qui nous donne l'inégalité souhaitée. - On intégre la relation précédente:
où
et
On obtient donc bien finalement
- Soit
. D'après le théorème des accroissements finis sur
, car
y est continue et dérivable,
De même, sur,
Orest croissante, et donc, en particulier, comme
,
d'où
- En isolant
dans l'inégalité précédente, dans le but d'intégrer ensuite entre 0 et 1,
et donc