Colles de mathématiques
Inverse d'une matrice 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan
Sujet
En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, calculer l'inverse
de la matrice
.
![$A=\lb\begin{array}{rrr}2&1&-1\\1&-2&2\\1&-1&2\enar\rb$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2/1.png)
Corrigé de l'exercice de maths: Matrices
Correction
On écrit la matrice augmentée avec l'identité
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}2&1&-1 &1&0&0\\1&-2&2 &0&1&0\\1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/1.png)
On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par
,
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.6em]
1&-2&2 &0&1&0\\
1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/3.png)
puis
et
pour obtenir
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&-\dfrac52&\dfrac52 &-\dfrac12&1&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/6.png)
on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/8.png)
puis
et
pour obtenir
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/11.png)
enfin,
donne
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&0 &0&-1&1\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/13.png)
et on trouve donc la matrice inverse
![\[A^{-1}=
\lb\begin{array}{rrr}
\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&-1&1\\[.8em]
-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\right]
=\dfrac15
\lb\begin{array}{rrr}
2&1&0\\[.8em]
0&-5&5\\[.8em]
-1&-3&5\enar\right]
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/14.png)
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}2&1&-1 &1&0&0\\1&-2&2 &0&1&0\\1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/1.png)
On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par
![$L_1\leftarrow\dfrac12 L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/2.png)
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.6em]
1&-2&2 &0&1&0\\
1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/3.png)
puis
![$L_2\leftarrow L_2-L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/4.png)
![$L_3\leftarrow L_3-L_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/5.png)
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&-\dfrac52&\dfrac52 &-\dfrac12&1&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/6.png)
on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par
![$L_2\leftarrow-\dfrac25L_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/7.png)
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/8.png)
puis
![$L_3\leftarrow L_3+\dfrac32L_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/9.png)
![$L_1\leftarrow L_1-\dfrac12L_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/10.png)
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/11.png)
enfin,
![$L_2\leftarrow L_2+L_3$](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/12.png)
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&0 &0&-1&1\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/13.png)
et on trouve donc la matrice inverse
![\[A^{-1}=
\lb\begin{array}{rrr}
\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&-1&1\\[.8em]
-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\right]
=\dfrac15
\lb\begin{array}{rrr}
2&1&0\\[.8em]
0&-5&5\\[.8em]
-1&-3&5\enar\right]
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/14.png)