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Colles de mathématiques

Inverse d'une matrice 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan


Sujet


En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, calculer l'inverse de la matrice $A=\lb\begin{array}{rrr}2&1&-1\\1&-2&2\\1&-1&2\enar\rb$.

Corrigé de l'exercice de maths: Matrices

Correction


On écrit la matrice augmentée avec l'identité
\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}2&1&-1 &1&0&0\\1&-2&2 &0&1&0\\1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]

On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par $L_1\leftarrow\dfrac12 L_1$,
\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.6em] 1&-2&2 &0&1&0\\ 1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]

puis $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ pour obtenir
\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em] 0&-\dfrac52&\dfrac52 &-\dfrac12&1&0\\[.8em] 0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]

on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par $L_2\leftarrow-\dfrac25L_2$
\[\lb\begin{array}{rrr|rrr} 1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em] 0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em] 0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]

puis $L_3\leftarrow L_3+\dfrac32L_2$ et $L_1\leftarrow L_1-\dfrac12L_2$ pour obtenir
\[\lb\begin{array}{rrr|rrr} 1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em] 0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em] 0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]

enfin, $L_2\leftarrow L_2+L_3$ donne
\[\lb\begin{array}{rrr|rrr} 1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em] 0&1&0 &0&-1&1\\[.8em] 0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]

et on trouve donc la matrice inverse
\[A^{-1}= \lb\begin{array}{rrr} \dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em] 0&-1&1\\[.8em] -\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\right] =\dfrac15 \lb\begin{array}{rrr} 2&1&0\\[.8em] 0&-5&5\\[.8em] -1&-3&5\enar\right] \]